EL MURAL DE LES MATES

c(NaOH) =

n(NaOH)
/
V(NaOH)

= 1.2345 mol dm^-3

²⁄₁₁

Fórmules

</div>

Els sistemes de numeració

En aquesta animació trobaràs informació sobre aquests sistemes de numeració:
– Sistema egipci.
– Sistema romà.
– Sistema xinès
– Sistema decimal

Pica aquí per accedir-hi.

Els nombres naturals i els seus usos

En aquesta animació trobaràs informació sobre les característiques dels nombres natuals i els seus usos.

Animació.

Tipus de problemes matemàtics i tècniques de resolució

Una de les capacitats que tota persona ha de desenvolupar no solament al llarg de la seva formació acadèmica sinó de fet al llarg de la seva existència, és la de resoldre problemes. La vida contínuament ens planteja situacions problemàtiques a les quals hem de saber donar una resposta adequada. Així doncs, el concepte de problema, o de situació problemàtica, pot ser tan àmplia com es vulgui. Quan un pacient acudeix a una consulta mèdica per una dolència, planteja un problema al metge; quan en una carretera es produeixen embussos a les hores punta, el tècnic en trànsit ha de buscar una solució; o quan una persona ha contrariat un amic, ha de fer alguna cosa per restablir la bona harmonia. Un tipus específic de problemes són els anomenats problemes matemàtics. Tot i que representen un subconjunt dels problemes que podem identificar a la vida quotidiana, la seva varietat també és enorme. Aqusta n'és una petita mostra:

– De càlculs numèrics.

Exemple: En Joan vol repartir 25 caramels entre 5 amics. Quants en tocaran a cadascú?

– D'àrees i volums.

Exemple: Quin és el volum de la piràmide de Kéops, donades les seves mides?

– De dibuix geomètric.

Exemple: Com pots dibuixar un hexàgon regular inscrit en una circumferència, només amb un regle no graduat i un compàs?

– De recompte de possibilitats.

Exemple: Quants menús diferents pots fer a partir de la carta d'un restaurant?

– De generalització.

Exemple: Donada la seqüència numèrica 2, 7, 12, 17, 22, 27..., que segueix un patró fix, quina és la fórmula que ens permet determinar el valor de qualsevol valor de la sèrie?

– Algebraics.

Exemple: El doble d'un nombre més la seva meitat és 25. Quin és aquest nombre?

Un problema que va preocupar els primers matemàtics era saber quantes vegades és més gran la longitud de la circumferència, que és una línia corba, que el diàmetre, que és una línia recta (per ser més precisos, un segment). Es pot superposar una corda sobre la la circumferència i després veure quantes vegades és més gran que el tros de corda que superposem sobre el diàmetre. El resultat que s'obté és molt poc precís. Després de segles (o mil·lennis) d'estudi, s'ha arribat a tenir un valor extremadament aproximat: 3,141592... Aquest seria un problema de gran dificultat. Els problemes matemàtics poden ser també molt senzills, com alguns dels exemples oferts més amunt.

En la resolució de molts problemes, sobretot els numèrics i els algebraics, podem distingir dos grans tipus d'informació: les dades que ens donen i la pregunta a la qual hem de donar resposta. Cal llegir atentament l'enunciat per conèixer les dades. Convé tenir en compte que en tot enunciat, ens podem trobar amb aquestes situacions:

a) Les dades que ens donen són insuficients.

Exemple: Un costat d'un triangle isòsceles fa 10 cm i un altre fa 6 cm. Quant fa el perímetre del triangle?

b) Hi ha dades que són irrellevants.

Exemple: Un autobús porta diversos passatgers a l'aeroport: una persona amb dues maletes grosses de color vermell; una amb quatre maletes petites de color beix; una amb tres maletes mitjanes de color negre, i una amb una bossa de mà. Quantes maletes transporta l'autobús?

c) Les dades poden resultar aparentment insuficients; el nostre coneixement de les màtemàtiques ens pot permetre pal·liar aquesta falta d'informació. En l'exemple següent sabem que el perímetre d'un rectangle és igual a dues vegades la llargada i l'amplada.

Exemple: Un terreny rectangular fa 50 m de perímetre. Sabent que l'amplada fa 18 m, quant fa la llargada?

La informació de l'enunciat pot arribar a ser molt complexa. En aquests casos convé recórrer a tècniques específiques per estructurar-la. De vegades, quan estructurem la informació obtenim ja la solució del problema, o la idea per resoldre'l. Vegem algunes tècniques per estructurar la informació:

– Un esquema.

– Un croquis o dibuix.

– Una taula.

– Un diagrama d'arbre.

– Un diagrama de Venn, etc.

Segons el tipus de problema o la quantitat d'informació donada, recorrerem a una tècnica a una altra. Per exemple, la tècnica del diagrama d'arbre és molt útil per als problemes de recompte de possibilitats o els de probabilitat. En els problemes geomètrics, el croquis o el dibuix sol ser indispensable.

Excepte en els casos més simples de problemes aritmètics, la solució que dóna resposta al problema no s'obté manipulant de manera simple les dades donades. Cal calcular valors intermedis. En aquests casos sol ser recomanable fer una planificació del procés de resolució.

Hi ha problemes força difícils, com el del càlcul del nombre pi, que ja hem vist. Són en general difícils els problemes de generalització. Exemples de problemes de generalització són els d'identificar el patró que segueix una sèrie numèrica com ara 2, 5, 10, 17, 26... En aquests casos ens demanen determinar la fórmula que permet calcular qualsevol nombre de la sèrie a partir de la posició que ocupa. En aquest tipus de problemes, i en d'altres, de vegades és útil recórrer a problemes més simples ja coneguts i veure si la forma de solucionar-lo és adaptable. En casos com aquests, la tècnica de tempteig no s'ha de menysprear, ja que pot ser que ens proporcioni la idea feliç que ens porti a la solució.

Càlcul mental

Sovint, quan les quantitats que operem són nombres baixos, o nombres alts amb zeros, podem obtenir el resultat mentalment. Per facilitar els càlculs existeixen alguns trucs, basats en molts casos en la descomposició d'un o diversos termes en productes d'altres termes o en sumes o diferències de termes. Aquí et mostrarem alguns exemples. Els desglossem en dos grans apartats: sumes i restes d'una banda, i multiplicació i divisió de l'altra. En cada cas, l'estratègia que aplicarem vindrà donada per les característiques numèriques dels termes i l'operació o operacions indicades.

Sumes i restes

1. Recol·loquem els sumands:

9 + 3 + 5 + 1 = (9 +1) + (3 + 5) = 10 + 8 = 18

2. Descomponem els sumands en sumes o diferències:

57 + 22 = (50 + 7) + (20 + 2) = (50 + 20) + (7 + 2) = 70 + 9 = 79

Un cas particular es dóna quan descomponem els sumands per obtenir sumands iguals:

26 + 28 = (25 + 1) + (25 + 3) = 25 + 25 + 1 + 3 = 50 + 4 = 54

3. Sumem i restem un mateix nombre per completar desenes o centenes.

54 + 27 = 54 + (27 + 3) – 3 = 54 + 30 – 3 = 84 – 3 = 81

Podem estalviar passos així:

15 + 21 = 15 + 20 + 1 = 35 + 1 = 36

98 + 73 = 100 – 2 + 73 = 171

Multiplicacions i divisions

1. Descomponem un terme en producte de dos factors:

135 x 4 = 135 x 2 x 2 = 270 x 2 = 540

548 : 4 = 548 : (2 x 2) = 548 : 2 : 2 = 272 : 2 = 137

255 : 15 = 255 : (5 x 3) = 255 : 5 : 3 = 51 : 3 = 1
Si un factor acaba en 0, el descomponem en producte de manera que un dels factors sigui 10 o una potència de 10:

1.500 x 7 = 15 x 100 x 7 = 15 x 7 x 100 = 105 x 100 = 10.500

120 x 60 = 12 x 10 x 6 x 10 = 12 x 6 x 10 x 10 = 72 x 100 = 7.200

2. Descomponem un dels factors en una suma o diferència i apliquem la propietat distributiva:

6 x 24 = 6 x (20 + 4) = 6 x 20 + 6 x 4 = 120 + 24 = 144

Podem estalviar passos així:

31 x 26 = 30 x 26 + 1 x 26 = 780 x 26 = 806

Un cas particular és el producte per 11. Descomponem 11 com a 10 + 1:

245 x 11 = 245 x (10 + 1) = 245 x 10 + 245 x 1 = 2.450 + 245 = 2.695

3. Encadenem operacions diferents:

– Producte per 5. Es divideix per 2 i es multiplica per 10:

36 x 5 = 36 : 2 x 10 = 18 x 10 = 180

– Quocient entre 5. Es divideix per 10 i es multiplica per 2:

220 : 5 = 220 : 10 x 2 = 22 x 2 = 44

– Producte per 15. Se suma al nombre la seva meitat i el resultat es multiplica per 10:

32 x 15 = [32 + (32 : 2)] x 10 = [32 + 16] x 10 = 48 x 10 = 480

– Multiplicació per 25. Es divideix per 4 i el resultat es multiplica per 100:

32 x 25 = 32 : 4 x 100 = 8 x 100 = 800

– Quocient entre 25. Es divideix per 100 i el resultat es multiplica per 4:

725 : 25 = 725 : 100 x 4 = 7,25 x 4 = 29

Per a productes de nombres de dues xifres, trobaràs algunes regles en aquesta web.